|
|
| |
| Temat: | |Dodał: | |Odp: | |Wyśw: | |Data dod.: | | Wyprowadzenie rownania drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym | namyslowianin | 3 | 21516 | 05-16 21:06 |
 namyslowianin (05-16 21:06) (moderator) | | Ponieważ w kilku postach pojawiały się pytania typu "dlaczego tam są minusy" postanowiłem pokazać skąd się bierze równanie drogi w ruchu prostoliniowym.
Jak wiemy w ruchu po linii prostej zmiana położenia jest równa przebytej drodze. Możemy to formalnie zapisać:
s=| \vec r|
Wiadomo że położenie jest wektorem, więc powyższy wzór jest zrozumiały. W szkole mówi się, że prędkość jest równa
v= \frac{ \Delta s}{ \Delta t}
jest to oczywiście prędkość średnia. Mówi się też (przynajmniej w mojej byłej szkole), że prędkość chwilowa jest równa granicy prędkości średniej przy różnicy czasu dążącej do zera:
v= \lim_{ \Delta t\to0} \frac{ \Delta s}{ \Delta t}
możemy też wyznaczyć wektor prędkości chwilowej
\vec v= \lim_{ \Delta t\to0} \frac{ \Delta \vec r}{ \Delta t}
wiemy, że położenie jest funkcją czasu
\vec r= \vec r(t)
Wówczas możemy napisać:
\Delta \vec r= \vec r(t+ \Delta t)- \vec r(t)
Przepiszmy to do wzoru na wektor predkości
\vec v= \lim_{ \Delta t\to0} \frac{ \vec r(t+ \Delta t)- \vec r(t)}{ \Delta t}
widzimy, że jest do definicja pochodnej. Ze szkolnego oznaczenia pochodnej nie wiadomo po jakiej zmiennej jest pochodna liczona. Leibniz wprowadził nastepujące oznaczenia na pochodną (w naszym przypadku ma ono postac)
\vec v= \frac{d \vec r}{dt}
symbol dt mozna łatwo uzasadnić
dt=lim_{\Delta t\to0} \Delta t
można więc powiedziec ogolnie, że dx oznacza nieskończenie małe przyrosty zmiennej x
Widać więc, że prędkość chwilowa jest pochodną wektora położenia po czasie. Fakt ten jest słuszny dla wszystkich ruchów (niekoniecznie prostoliniowych).
Podobnie jest z przyspieszenie. Jest to pochodna prędkości po czasie:
\vec a= \frac{d \vec v}{dt}
Uwzgledniając fakt, że prędkość jest pochodną położenia po czasie możemy napisdać:
\vec a= \frac{ \frac{d \vec r}{dt}}{dt}= \frac{d^{2} \vec r}{dt^{2}
Mówimy, że przyspieszenie jest drugą pochodną po czasie
Fizycy na przyrostach typu dx działaja tak jak na zwykłych zmiennych (w sensie takim, że sobie mnożą bądź dzielą przez np. dx). Na potrzeby fizyki wprowadzono pojęcie całki (podobnie jak pochodnej). Teraz napisze co to jest ta całko (przy pomocy jakichs wzorów)
Niech f= \frac{dF}{dx}
przy czym f i F sa funkcjami x. Pomóżmy teraz obustronnie przez dx
fdx=dF
Całkę nieoznaczoną definiujemy jako:
F= \int fdx
mowimy, ze funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f ktora nazywamy funkcja podcalkowa. Tutaj napisze calki funkcji, ktore nam sie dalej przydadza
\int dx=x+C \\ \int xdx= \frac{x^{2}}{2}+C \\ \int cdx=c \int dx=cx+C
c i C są stalymi. To nam wystarczy do dalszych rozważań. |
| | | namyslowianin (05-16 21:11) (moderator) | | Ponieważ przyspieszenie jest pochodna prędkości, więc prędkjość będzie całką z przyspieszenia. W ogólnym przypadku przyspieszenie jest funkcją czasu:
\vec a=\vec a(t) \\ \vec v= \int \vec a(t) dt
Rozważmy przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego. Wprowdźmy oś x wzdłuz której porusza sie cialo. Załózmy że w chwili początkowej:
v(t=0)=v_{0} \\ s(t=0)=s_{0}
Od tej pory bedziemy operowac na wartościach wektorów a nie na wektorach. Prędkość policzymy całkując przyspieszenie po czasie
v(t)= \int adt=a \int dt=at+c
Musimy jeszcze policzyc stala c. W tym celu do powyzszego wzoru wstawiamy t=0
v_{0}=v(t=0)=a*0+c=c \\ c=v_{0}
teraz w podobny sposob policzymy drogę
s(t)= \int v(t)dt= \int (at+v_{0})dt= \int atdt + \int v_{0}dt=a \int tdt +v_{0} \int dt = \frac{at^{2}}{2}+v_{0} t +d
Teraz wyznaczymy stala d w sposob analogiczny jak stala c w przypadku predkosci
s_{0}=s(t=0)= \frac{a*0^{2}}{2}+v_{0}*0+d=0+0+d=d \\ d=s_{0}
a więc równanie drogi ma postac
s(t)= \frac{at^{2}}{2}+v_{0} t +s_{0}
Wzory powyższe są prawdziwe bez względu na to czy zwrot wektora przyspieszenia jest zgodny z dodatnim kierunkim osi x czy nie
Celem tych postów jest jednak wytłumaczenie "dlaczego tam jest minus?" |
| |
| | namyslowianin (05-16 21:51) (moderator) | | No więc do dzieła
Pytanie to pojawia się najcześciej w przypadku ruchów w polu grawitacyjnym (spadek swobodny i rzut pionowy)
Wprowadźmy oś x skierowaną ku górze. Załużmy, że znajdujemy się na takich wysokościach, na ktorych pole grawitacyjne mozna w przyblizeniu traktoac jako jednorodne. Wiemy, że przyspieszenie w kazdym punkcie tego pola to \vec g
Jak wiadomo wektor przyspieszenia grawitacyjnego jest skierowany ku środkowi Ziemi (a więć w dół), czyli przeciwnie do osi x. Wartość wektora przyspieszenia w naszym układzie współrzędnych jest równa -g
Teraz załóamy, że ciało spada swobodnie z wysokości H
wowczas równanie drogi jak i predkośc wyraża się wzorami (we wzorach wsawiamy w miejsce a -t)
v(t)=-gt \\ s(t)= \frac{-gt^{2}}{2}
Teraz rozważmy rzut pionowy w dol z predkościa poczatkowa v_{0} Wektor tej prekosci jest skierowny w dol, wiec do wzorów wejdzie ze znakiem "-"
v(t)=-gt-v_{0} \\ s(t)= \frac{-gt^{2}}{2}-v_{0}t+H
widzimy, że w obu przypadkach predkość jest "ujemna" Pamietajmy jednak ze jest to wartosc predkosci, ktora jest skierowana w dól a wiec przeciwnie do dodatniego kierunku osi x.
Jeszcze zostal rzut ukosny w gore z wysokosci poczatkowej H i z predkoscia poczatkowa v_{0} W tym przypadku wektor predkosci poczatkowej ma zwrot zgodny z kierunkiem dodatnim osi x wiec do wzorow wejdzie ze znakiem "+"
v(t)=-gt+v_{0} \\ s(t)= \frac{-gt^{2}}{2}+v_{0}t+H
Widzimy zew tym przypadku predkosc moze byc dodatnia badz ujemna. Wyika to z faktu ze najpierw porusza sie w gore a po osiagnieciu maksymalnej wysokosci w dol (odpowiednio zgodnie i przeciwnie do dodatnioego kierunku osi x)
I w ten oto sposób odpowiedziałem na pytanie "SKĄD TEN MINUS?"!!! |
| |  dreamteam (06-08 18:17) | | | Piękna robota ;) Tylko te całki... Oprócz Ciebie i Jamnika nikt chyba tego nie zrozumie, nie ma innego sposobu niż scałkowanie tych równań? |
| |
 |
Uwaga!
Aby móc korzystać z forum, musisz się zalogować:
Jeżeli nie masz konta, zarejestruj się już teraz, u nas podajesz tylko login, hasło i email, a cała rejestracja zajmuje około 30 sekund.
A może zapomniałeś hasło lub login? Nic nie szkodzi, w tej sytuacji pomożemy! |
JamnikFORUM ver. 2.0
© 2005-2006 Bartłomiej Śpionek "Jamnik"
|
|
|
|
|
