fizyka.org  ::  mamy 21 lat!

Fizyka
Fizyka
 
Strona g³ówna > Zadania z fizyki > Zasady dynamiki Newtona > Zadanie 18
Zasady dynamiki Newtona - Zadanie 18

Tre¶æ:
Cia³o o masie m jest hamowane si³± proporcjonaln± do prêdko¶ci F=-kv. W chwili t=0 cia³o mia³o prêdko¶æ v0. Zapisz i rozwi±¿ równanie ruchu. Znajd¼ odleg³o¶æ jak± przebêdzie cia³o od chwili t=0 do momentu, gdy prêdko¶æ cia³a osi±gnie warto¶æ po³owy warto¶ci pocz±tkowej. Znajd¼ odleg³o¶æ jak± przebêdzie cia³o od chwili t=0 do zatrzymania siê cia³a.

Dane:
m
v0
F = - kv
k - sta³a


Szukane:
s = ?

Wzory:
1. Przyspieszenie:

2. Prêdko¶æ:

3. II zasada dynamiki:


Rozwi±zanie:
Uwaga!
Zadanie to jest bardzo trudne i je¶li nie wiesz co to znaczy pochodna i ca³ka, nie zabieraj siê za nie.

Zapiszmy równanie ruchu, wynikaj±ce z II zasady dynamiki


Zauwa¿my, ¿e si³a zmienia siê z ka¿d± sekund± ruchu, bo zale¿y od prêdko¶ci. Popatrzmy na powy¿szy wzór. Skoro zmienia siê si³a, zmienia siê przyspieszenie, bo masa cia³a jest sta³a. Oznacza to, ¿e nie mo¿emy skorzystaæ z wzorów, które znamy, poniewa¿ s³uszne by³y one tylko dla sta³ej warto¶ci przyspieszenia. Skorzystajmy wiêc z bardziej ogólnej definicji przyspieszenia

Przyspieszenie to iloraz pochodnej prêdko¶ci po czasie. Podstawiamy to do naszego równania ruchu, oraz to, ¿e F = -kv

Ca³kujemy z obu stron:

Poniewa¿ warto¶ci k i m nie zale¿± od czasu t to:

gdzie C jest sta³± ca³kowania.
Poniewa¿ w chwili pocz±tkowej, tzn. dla t = 0 prêdko¶æ v = v0, to


Tak wiêc mamy

co mo¿na przekszta³ciæ do postaci:



Mamy wzór na prêdko¶æ. Znajdziemy teraz drogê, jak± cia³o przebêdzie do chwili zatrzymania siê.
Skorzystamy z definicji prêdko¶ci, ale tej ogólniejszej, która mówi ¿e jest to pochodna drogi po czasie


Zatem:

Mno¿ymy obie strony przez dt i ca³kujemy

Otrzymujemy

gdzie C to sta³a ca³kowania.
Za³ó¿my, ¿e dla t = 0, s = 0 i obliczamy sta³± C


Zatem zale¿no¶æ drogi od czasu ma postaæ:

Cia³o zatrzyma siê, gdy jego prêdko¶æ zmaleje do zera. Nast±pi to po nieskoñczenie d³ugim czasie. Liczy to siê w nastêpuj±cy sposób:

s1 to droga, jak± przebêdzie cia³o do chwili zatrzymania siê.

Mamy jeszcze obliczyæ odleg³o¶æ, jak± przebêdzie cia³o od chwili t = 0 do momentu, gdy prêdko¶æ cia³a osi±gnie warto¶æ po³owy warto¶ci pocz±tkowej.
Obliczymy po jakim czasie t2 prêdko¶æ cia³a zmaleje do po³owy. Powy¿ej podali¶my wzór na prêdko¶æ:


Szukany czas obliczymy po rozwi±zaniu równania

Teraz korzystamy z wyliczonej wcze¶niej zale¿no¶ci drogi od czasu

Po czasie t2 cia³o, którego prêdko¶æ zmaleje do po³owy przebêdzie drogê

Tak wiêc droga s2 to droga, jak± przebêdzie cia³o od chwili t = 0 do momentu, gdy prêdko¶æ cia³a osi±gnie warto¶æ po³owy warto¶ci pocz±tkowej.

Jamnik

« powrót do listy zadañ
Znalaz³e¶ b³±d w materiale? Skontaktuj siê z nami, przysy³aj±c adres strony, na której znajduje siê b³±d i informacjê o tym, czego dotyczy b³±d.

 
 Teoria
Wyprowadzenia wzorów
Zadania fizyczne
Do¶wiadczenia fizyczne
Tablice fizyczne
Biografie fizyków
FORUM
Oferty pracy
 
 Zasady dynamiki Newtona
 
 I Zasada dynamiki Newtona [0]
Potencja³ spoczynkowy [0]
zadannie [0]
wykres energii potencjalnej w czasie [0]
Zadanie z elektrotechniki - rezystory [1]
 
 
© 2003-2024 Fizyka Jamnika. Online: 27
Wszystkie artyku³y i publikacje znajduj±ce siê w portalu Fizyka Jamnika s± chronione prawem autorskim.
Kopiowanie, publikowanie i rozpowszechnianie materia³ów bez naszej zgody jest zabronione.
Obs³uga informatyczna